Speerpunten
rekenen-wiskunde

Getalbegrip

In Nederland hebben we een decimaal talstelsel. Dat betekent dat we tien cijfers tot onze beschikking hebben om alle getallen te maken die we willen.

We willen graag dat het jonge kind getalbegrip ontwikkelt. Getalbegrip ontstaat door de drie onderdelen van het Triple code model (Dehaene, 1997) met elkaar te verbinden:

• De analoge code: omgaan met hoeveelheden die je kunt zien/voelen/horen.

• De verbale code: omgaan met de telrij, de woorden één, twee, drie.

• De visuele code: omgaan met getallen, de symbolen 1, 2, 3.

Wanneer een kind begrijpt dat ‘vijf’ evenveel is als 5, een hand vol, een dobbelsteen patroon etc. dan is er sprake van getalbegrip. In de voorschoolse periode ontwikkelt dit zich al en op de basisschool aan het einde van groep 2 hebben veel scholen de ambitie dat dit tenminste tot twaalf en het liefst tot twintig onder de knie is. 

Getallen kunnen bij het jonge kind ook conflictsituaties oproepen. Dat komt omdat getallen verschillende functies kunnen hebben (Brom-Snijders et al., 2014). Bijvoorbeeld een groep 1 die in het tweede klaslokaal zit. Of vier mensen die op huisnummer 6 wonen.   

De telontwikkeling

Kinderen hebben al erg jong besef van meer/minder en veel/weinig. Vooral in situaties die voor hen van belang zijn, zoals het verdelen van lekkere rozijntjes of het vinden van ‘genoeg’ poppetjes voor in de auto’s (één op één correspondentie).

Tellen lukt niet zonder de telrij te kennen. Het kunnen opzeggen van de telrij (zonder daadwerkelijk een hoeveelheid te tellen) noemen we akoestisch tellen. Dit wordt bijvoorbeeld geoefend bij verstoppertje spelen, wanneer er met de ogen dicht geteld wordt.

Kinderen zien in hun omgeving dat de telrij vaak gepaard gaat met het aanwijzen of pakken van hoeveelheden. Zo leren ze een hoeveelheid te tellen. In het begin gaat dat nog asynchroon. Het tellen gaat sneller of juist langzamer dan het aanwijzen. Peuters tellen vaak nog asynchroon en jongste kleuters ook nog dikwijls. Door veel te oefenen en motorisch sterker te worden ontwikkelt dit zich naar synchroon tellen; het aanwijzen (of springen of pakken of wegleggen) gebeurt één op één met het uitspreken van de telrij (Brom-Snijders et al., 2014). 

Wanneer een kind aan het eind ook zelf kan vertellen hoeveel de totale hoeveelheid is, wordt er resultatief geteld. Volwassenen nemen dit soms van het kind over (“goedzo, het zijn er tien!”) maar beter is om dit het kind zelf te laten inzien.

Wanneer het tellen zich goed ontwikkelt komen ook telstrategieën aan bod die het verkort tellen mogelijk maken. Denk hierbij aan het tellen met sprongen van twee (twee, vier, zes…) of het doortellen (zes……zeven acht negen). Doortellen kan goed geoefend worden door spelletjes te spelen met twee dobbelstenen. In plaats van alle ogen te tellen, wordt één dobbelsteen als uitgangspunt genomen (zes) en wordt doorgeteld: zeven, acht negen (Brom-Snijders et al., 2014).  

Veel basisscholen moedigen het doortellen aan in groep 2 en groep 3, als opmaat naar het leren rekenen.

Basisbewerkingen

Er zijn vier basisbewerkingen: optellen, aftrekken, vermenigvuldigen en delen.

Informeel optellen en aftrekken start vaak al in groep 1 en 2. Kinderen leren dat ze een hoeveelheid kunnen manipuleren door er iets bij te doen (dan wordt het meer) of er iets af te halen (dan wordt het minder). Ze leren dit te verbinden aan hun kennis van het tellen; “ik heb twee blokken, ik doe er één bij en dan heb ik drie blokken. Ik doe er weer één bij en dan heb ik vier blokken”. Dit gebeurt eerst in stappen van één meer of één minder, maar kan spelenderwijs uitgebreid worden naar grotere stappen.

Het splitsen biedt ook een mooie opstap naar het leren optellen en aftrekken. Tegelijkertijd versterkt splitsen het getalbegrip. Ook dit gebeurt eerst handelend, het daadwerkelijk splitsen van zes voorwerpen in één en vijf, twee en vier, drie en drie etc. Het handelend splitsen vloeit over in het splitsen op het platte vlak met tekeningen of modellen tot aan het formeel splitsen van getallen (6˂) (Groenestijn, Borghouts & Janssen, 2011). Een splitsing bevat eigenlijk al vier opgaven, in  6˂ is zowel 4+2=6 als 2+4=6, als 6-4=2 als 6-2=4 zichtbaar.

Vanuit het splitsen en het informeel optellen en aftrekken leren kinderen in groep 3 optellen en aftrekken, in eerste instantie tot tien, later tot twintig. Het rekenrek (met vijf- en tienstructuur) of het gebruik van fiches/blokjes ondersteunt de overgang van tellen naar rekenen. Het ene kind heeft de ondersteuning van deze materialen langer nodig dan het andere kind.

Vermenigvuldigen komt op de meeste basisscholen in groep 4 aan bod. Vanuit het herhaald optellen (2 + 2 + 2 + 2) wordt de brug gelegd naar het vermenigvuldigen (4 x 2).

De vierde basisbewerking, het delen, komt meestal pas in groep 5 op formeel niveau aan bod. Dit terwijl we het delen als in ‘verdelen’ al in het spel terugzien bij het jonge kind in de voorschoolse periode. 

Meten

In het domein meten gaat het om het getalsmatig grip krijgen op de grootheden: lengte, gewicht, inhoud, omtrek, oppervlakte en tijd (SLO, 2019). Het rekenen met geld valt hier ook onder, al zijn er ook basisscholen die dit beter vinden passen onder het domein getalbegrip of basisbewerkingen.

Bij het jonge kind komt de getalsmatige kant van het meten nog niet zo zeer aan bod. Allereerst is het van belang om de grootheden te leren begrijpen en hier rekentaal aan te verbinden. Bij bijvoorbeeld lengte gaat het om begrippen als ‘lang en kort’, maar ook de vergrotende trap (langer, korter) en de overtreffende trap (langst, kortst). Het lastige hierbij is dat het om  relatieve begrippen gaat. Een tak kan in vergelijking met de ene tak langer zijn, maar in vergelijking met de andere tak korter. Om dit te gaan begrijpen zijn veel goede voorbeelden en is veel oefening nodig.

Het domein meten leent zich goed om te sorteren (ordenen) of seriëren. Kinderen kunnen sorteren binnen een grootheid, bijvoorbeeld alle lange takken bij elkaar en alle korte takken bij elkaar. Bij het seriëren wordt een hoeveelheid op volgorde gelegd. Bijvoorbeeld drie takken van lang naar kort. De leerlijn binnen het sorteren en seriëren gaat zowel van eenvoudig naar complexer (seriëren van drie voorwerpen tot wel vijf of zes voorwerpen) als van concreet naar het platte vlak (van tastbaar materiaal naar afbeeldingen).

Het omgaan met tijd gebeurt in eerste instantie ook zonder getallen, zonder klok. Het gaat om bijvoorbeeld het ritme van de dag met daarin de volgorde van wat er gaat gebeuren. Ook het verstrijken van de dag (ochtend, middag, avond, nacht), de dagen van de week, de maanden van het jaar en de seizoenen vallen hieronder. Woorden als ‘even, straks, morgen, gisteren, volgende week’ zijn vaak nog abstract voor het jonge kind terwijl ze deze woorden wel veel om zich heen horen. Dit heet ook wel het ontwikkelen van tijdsbeleving. In groep 3 start meestal het formele klokkijken, in eerste instantie op een analoge klok. De getallen in de klok zijn immers vergelijkbaar met een getallenlijn tot 12. De hele en halve uren worden opgevolgd door de kwartieren. Het is hierbij van belang dat kinderen de functie van de kleine en de  grote wijzer leren kennen. 

Meetkunde

In het domein meetkunde gaat het om het beschrijven en verklaren van de wereld om je heen, zonder getallen. Werkwoorden als ‘ervaren, verklaren en verbinden’ worden vaak genoemd binnen meetkunde (SLO, z.d.). Het domein wordt opgedeeld in drie deelgebieden: oriënteren in de ruimte, opereren met vormen en figuren en construeren (SLO, 2019).

Oriënteren in de ruimte gaat om het verkennen van de ruimte om je heen. Bij het jonge kind gebeurt dat vanuit het eigen perspectief. Al bij (eigenlijk vóór) de geboorte gebeurt dit wanneer de baby zich oriënteert op de geur en de stem van de ouder(s). Baby’s en dreumesen ontdekken doorgaans graag de ruimte om hen heen. Wanneer ze zich kunnen verplaatsen (kruipen, lopen) ontdekken ze hoe hun perspectief verandert wanneer ze in beweging zijn. Het wisselen van perspectief (wat ziet de ander?) of het abstracter maken van perspectieven (plattegronden, bouwplaten, routes) ontwikkelen kinderen in de groepen 1, 2 en 3. Wanneer kinderen veel buiten spelen en in beweging zijn, versterkt dit de ontwikkeling enorm. Dit deelgebied bevat ook veel rekentaal, zoals ‘rechts, links’ en alle voorzetsels.

Opereren met vormen en figuren gaat over het (her-)kennen van vormen en figuren. Dikwijls scharen basisscholen het kennen van de kleuren hier ook onder. Het sorteren komt ook in dit deelgebied veel aan bod. Sorteren kan op één eigenschap (bijvoorbeeld kleur), dit gebeurt al in de peuterleeftijd en soms al daarvoor. Dikwijls nodigt kinderspeelgoed hier ook toe uit, zoals de welbekende vormenstoof. Sorteren kan ook op meerdere eigenschappen (bijvoorbeeld kleur en vorm; de rode driehoek), dit leent zich vaak meer voor de kleuterleeftijd. Het spelen met licht en schaduw valt ook onder dit deelgebied. In groep 3 komen dikwijls spiegelopgaven aan bod in de rekenboeken.

Construeren is een werkwoord en betekent letterlijk ‘maken, in elkaar zetten’. Het gaat om het      ontwerpen, (na-)maken en (na-)bouwen van dingen met verschillende materialen (bijvoorbeeld klei, papier of blokken). De bouw- of constructiehoek is misschien wel de meest bekende plek waar dit gebeurt. Hier wordt gebouwd, nagedacht over constructie en stevigheid, onderzocht of iets past en risicovol gespeeld. Een goede inrichting die stimuleert om complex te bouwen is hierbij essentieel. Het is van belang dat dit soort ervaringen worden opgedaan door zowel jongens als meisjes, beide hebben evenveel aanleg voor een goede meetkundige ontwikkeling (Bruyckere, Kirschner, Hulshof, 2021). Construeren gaat ook over het herkennen en kunnen voortzetten van patronen. In het kinderspeelgoed van bijvoorbeeld Lego is dit zichtbaar bij de ‘Lego Dots’. Tot slot gaat construeren ook over het kunnen volgen van een stappenplan of het kunnen nabouwen van een foto of voorbeeld. 

Logisch redeneren

Goed leren nadenken en logisch redeneren zijn geen officiële domeinen van rekenen-wiskunde in het basisschoolcurriculum. Maar rekenen-wiskunde is wel bij uitstek een vakgebied waar het logisch redeneren wordt geoefend, gemotiveerd en geleerd. Dat komt omdat in de wiskunde met vaste afspraken wordt gewerkt (definities) waarmee beweringen (stellingen) kunnen worden onderzocht en bewezen. Het denken vanuit ‘wat weet ik’ om zo tot een plan (algoritme) te komen om een nieuw probleem op te lossen (ook wel deductief redeneren genoemd) wordt eigenlijk al vanaf jongs af aan gestimuleerd in goede reken-wiskunde activiteiten.

Logisch kunnen redeneren, hierdoor kritisch kunnen nadenken en probleemoplossend te werk kunnen gaan wordt door veel onderwijsinstellingen gezien als waardevolle vaardigheden voor de toekomst. En laat dit nu net de kern zijn van rekenen-wiskunde!    

Literatuur

Brom-Snijders van den P. Bergh van den, J. Hutten O. Zanten van M. (2014). Hele getallen. ThiemeMeulenhoff. 

Bruyckere, P. de, Kirschner, P.,Hulshof, C. (2021). Jongens zijn slimmer dan meisjes, 35 mythes over leren en onderwijs. Lannoo Campus. 

Deheane, S. (1997). The Number Sense. Oxford University Press. 

Groenestijn van, M., Borghouts, C. & Janssen, C. (2011). Protocol Ernstige Rekenwiskunde problemen en dyscalculie. Van Gorcum. 

Kirschner, P.A., Claessens, L. en Raaijmakers, S. (2018). Op de schouders van reuzen. Inspirerende inzichten uit de cognitieve psychologie voor leerkrachten. Ten Brink. 

SLO (2019). Inhoudskaart rekenen-wiskunde Kleuters. Opgevraagd op 17 december 2022 van: https://www.slo.nl/thema/meer/jonge-kind/doelen-jonge-kind/ 

SLO (z.d.). Rekenen-wiskunde – meten en meetkunde-kerndoel 32. Opgevraagd op 17 december 2022 van: https://www.slo.nl/thema/meer/tule/rekenen-wiskunde/kerndoel-32/

Xu, F., & Arriaga, R. I. (2007). Number discrimination in 10-month-old infants. British Journal of Develop-mental Psychology, 25, 103- 108.